ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΞΑΝΤΛΗΣΗΣ

Μέθοδος της εξάντλησης
Πολύ δυσκολότερο όμως ήταν το πρόβλημα του υπολογισμού των εμβαδών και των όγκων σχημάτων που περιορίζονται από καμπύλες. Η λύση που ο Εύδοξος έδωσε στο πρόβλημα αυτό ήταν η μέθοδος που σήμερα λέγεται «μέθοδος εξάντλησης», όρος που δεν χρησιμοποιήθηκε από τους αρχαίους Έλληνες (ο όρος «εξάντληση» είναι μεταγενέστερος και εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε κείμενο του Γκέγκουαρ ντε Σαιν Βενσάν το 1647).
Ο Εύδοξος έδειξε, εφαρμόζοντας τη μέθοδο αυτή όχι μόνο για άρρητες αλλά και για απειροστές ποσότητες, πώς υποδιαιρείται με συνεχή τρόπο ένα γνωστό μέγεθος μέχρις ότου προσεγγίσει αρκετά, ένα γνωστό μέγεθος. Κατά τον Αρχιμήδη, ο Εύδοξος χρησιμοποίησε τη μέθοδο αυτή για ν’ αποδείξει ότι οι όγκοι των πυραμίδων και των κώνων ισούνται με το 1/3 των όγκων των πρισμάτων και των κυλίνδρων αντίστοιχα, που έχουν τις ίδιες βάσεις και τα ίδια ύψη, αν και είναι πιθανόν ο Δημόκριτος να είχε ήδη ανακαλύψει ότι συμβαίνει αυτό. Ο Εύδοξος απέδειξε επίσης ότι τα εμβαδά δύο κύκλων είναι ανάλογα των τετραγώνων των διαμέτρων τους.
Η μέθοδός του θύμιζε, αν και ήταν αρκετά πιο συστηματικά, τη μέθοδο σύμφωνα με την οποία, για να βρούμε το εμβαδόν ενός κύκλου, εγγράφουμε στον κύκλο κανονικά πολύγωνα, των οποίων το πλήθος των πλευρών αυξάνεται διαρκώς. Η μέθοδος της εξάντλησης, που αναπτύσσεται πλήρως στο βιβλίο ΧΙΙΙ του Ευκλείδη, επειδή μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό εμβαδών και όγκων που περιορίζονται από καμπύλες, είναι πρόδρομος του ολοκληρωτικού λογισμού.

ΒΛΕΠΕ ΚΑΡΑΚΩΣΤΑΣ